Cho các hàm số $y=f(x)$, $y=f(f(x))$, $y=f(x^2+2x-1)$ có đồ thị lần lượt là $(C_1),(C_2),(C_3)$. Đường thẳng $x=2$ cắt $(C_1),(C_2),(C_3)$ lần lượt tại $A,B,C$. Biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $A$ và của $(C_2)$ tại $B$ lần lượt là $y=2x+3$ và $y=8x+5$. Phương trình tiếp tuyến của $(C_3)$ tại $C$ là

Tọa độ các điểm khi $x=2$:
- $A(2;f(2))$. Phương trình tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $A$ là $y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=2x+3$.
Tại $x=2⟹f(2)=2(2)+3=7$ và hệ số góc $f^{\prime }(2)=2$.
- $B(2;f(f(2)))=B(2;f(7))$. Phương trình tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $B$ có hệ số góc là:
$[f(f(x)){]}^{\prime }{|}_{x=2}=f^{\prime }(2)\cdot f^{\prime }(f(2))=2f^{\prime }(7)=8⟹f^{\prime }(7)=4$.
Tung độ $f(f(2))=f(7)=8(2)+5=21$.
- Xét hàm số $y=g(x)=f(x^2+2x-1)$ tại $x=2$:
Khi $x=2$, $x^2+2x-1=2^2+2(2)-1=7$, nên tung độ của điểm $C$ là $y_C=f(7)=21$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $C$ là:
$g^{\prime }(2)=(2x+2){|}_{x=2}\cdot f^{\prime }(7)=(2\cdot 2+2)\cdot f^{\prime }(7)=6\cdot 4=24$.
Phương trình tiếp tuyến của $(C_3)$ tại $C(2;21)$ là:
$y=24(x-2)+21=24x-48+21=24x-27$.