Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2m-7=0$ có hai nghiệm thực $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+3)(x_2+3)=72$.

Chọn A.
Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình trở thành:
$t^2-3t+2m-7=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$:
$\Delta =9-4(2m-7)=37-8m>0⟺m<\frac{37}{8}$.
Theo định lý Vi-ét: $t_1+t_2=3⟹{\log }_3(x_1{x}_2)=3⟹x_1{x}_2=27$.
Theo giả thiết:
$(x_1+3)(x_2+3)=72⟺x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9=72⟺27+3(x_1+x_2)+9=72⟺x_1+x_2=12$.
Do $x_1+x_2=12$ và $x_1{x}_2=27$, hai nghiệm $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $X^2-12X+27=0⟺X=9$ hoặc $X=3$.
Suy ra hai nghiệm $t$ tương ứng là $t={\log }_{3}9=2$ và $t={\log }_{3}3=1$.
Khi đó tích hai nghiệm: $t_1{t}_2=2\cdot 1=2$.
Mặt khác, theo định lý Vi-ét cho (*): $t_1{t}_2=2m-7$.
Do đó $2m-7=2⟺2m=9⟺m=\frac{9}{2}$.
Kiểm tra điều kiện $m=4,5<\frac{37}{8}=4,625$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\frac{9}{2}$.