Câu 4. Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông $ABCD$ với $AB=100\text{ (m)}$, $DC=60\text{ (m)}$ và $AD=40\text{ (m)}$. Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh $AB$ và một phần của đường cong $(\mathcal{H})$, biết rằng $(\mathcal{H})$ chứa các điểm $K$ sao cho tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ luôn bằng $600\sqrt{2}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Anh Nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức ăn cho cá được tạo bởi cạnh $AD,DC$ và đường cong Parabol $(P)$ có đỉnh $A$, biết rằng phần đất để xây nhà kho có diện tích $S=\frac{1600}{3}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(0;4;5),B(-3;-1;3),C(-2;8;9),D(-7;2;-3)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả bốn vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,2\mathrm{ms},t_B=\frac{1}{3}\mathrm{ms},t_C=0,6\mathrm{ms},t_D=\frac{2}{3}\mathrm{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng $10\mathrm{km}$ trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;1),B(-3;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x-y+2z=0$. Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$, giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;4;-5),N(2;1;-3)$ và mặt phẳng $(P):x-y-z-3=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng $(P)$, các điểm $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ trên $\Delta$. Biết rằng khi $MH=NK$ thì trung điểm của $HK$ luôn thuộc một đường thẳng $d$ cố định, phương trình của $d$ là:

Một cái bể nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật và chứa đầy nước. Bạn Nam vô tình làm rơi viên bi dạng hình cầu vào trong bể nuôi cá. Khi đó, lượng nước trong bể tràn ra ngoài. Để tính lượng nước tràn ra ngoài, bạn Nam làm như sau:
Lấy cây thước thẳng, tiến hành di chuyển viên bi vào trong góc, sao cho viên bi tiếp xúc với mặt đáy và hai thành của bể nuôi cá. Bạn Nam tiến lại vị trí đỉnh của hình hộp chữ nhật gần với viên bi nhất và tiến hành đo: Chiều cao của bể là 35 cm. Tại vị trí đứng của Nam, đo từ đỉnh cao nhất của hình hộp chữ nhật đến điểm cao nhất của viên bi so với đáy bể là 33,5 cm. Biết thể tích của viên bi không vượt quá $4{\text{ cm}}^3$.

Bạn hãy thay Nam, tính thể tích (đơn vị: xăng-ti-mét khối) của lượng nước tràn ra ngoài. (Bán kính viên bi và lượng nước tràn ra ngoài làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông (như hình vẽ bên dưới).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho $A^{\prime }(0;0;0)$, $A(0;0;1)$, $B\left(0;\frac{1}{2};1\right)$. Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là $60\text{cm}$ để ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi $S(a;b;c)$, hãy tìm giá trị của $a+b+c$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600\text{ km}$. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-200+80t\\ z=10\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị $\text{km}$).
[IMAGE_1]