Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;4;-5),N(2;1;-3)$ và mặt phẳng $(P):x-y-z-3=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng $(P)$, các điểm $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ trên $\Delta$. Biết rằng khi $MH=NK$ thì trung điểm của $HK$ luôn thuộc một đường thẳng $d$ cố định, phương trình của $d$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;2;3),B(2;0;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-1=0$. Tọa độ giao điểm $C$ của đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=3+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và điểm $S(2;0;3)$. Đường thẳng $(\Delta )$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+(2a-2)t\\ y=-2+at\\ z=-4+t\end{array}$, trong đó $t$ là tham số và $a,t\in \mathbb{R}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $S$ và $(\Delta )$, đường thẳng vuông góc với $(\alpha )$ tại $S$ cắt $(P)$ tại $N$. Khoảng cách $SN$ ngắn nhất bằng $\frac{m\sqrt{30}}{n},m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Tính giá trị biểu thức $m^2-n-1$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;1;3),B(-3;-1;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y-z+3=0$. Gọi điểm $M\in (\alpha )$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất, khi đó đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;3; − 1) ; mặt phẳng
 x= 3 + t1  x= 2 + 2t2
 
( P ) : 2 x − 2 y − z + 5 =0 và hai đường thẳng d1 :  y= 2 + 2t1 ; d 2 :  y= 3 + t2 . Đường thẳng d đi qua
 z= 5 − 3t 
 1  z =−5 + t2
điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 lần lượt tại B và C . Tính tổng khoảng cách từ B và C đến mặt
phẳng ( P ) .