Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng 1. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$. Mặt phẳng $(CMN)$ cắt các đường thẳng $C^{\prime }{A}^{\prime },C^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt tại $P,Q$. Thể tích của khối đa diện lồi $ABCPQ{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$ và $N$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $NS=2NC$. Thể tích $V$ của khối chóp $A.BMNC$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, đáy $ABCD$ là hình thoi. Gọi $M,I$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $AS$, điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $SN=3NB$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $MN$ và vuông góc với mp $(SAC)$, $(\alpha )$ cắt $SC$ tại $E$. Biết thể tích khối tứ diện $CMNE$ bằng $V$. Tính theo $V$ thể tích khối tứ diện $IMNE$.

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,AD=b,A{A}^{\prime }=c$. Cắt khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ được hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa điểm $C^{\prime }$.

Cho hình chóp $S.ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $SB$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $SN=2NC$; $P$ là điểm trên cạnh $SA$ sao cho $PA=2PS$. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{BMNP}}{V_{S.ABC}}$.

Câu 1. Một vật lưu niệm làm bằng thuỷ tinh có dạng hình lăng trụ đều có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=10\text{ (cm)}$. Phía bên trong làm bằng nhựa đặc là hình chóp cụt đều $MNPQ.ABCD$ có $MN=5\text{ (cm)}$ và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(CDQP)$ bằng $3\sqrt{10}\text{ (cm)}$. Phần khoảng trống bên trong vật lưu niệm người ta bơm chất lỏng có màu sắc (xem độ dày thành vật thể không đáng kể). Khi đó thể tích phần chất lỏng bơm vào là bao nhiêu lít? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC$. Tỉ số thể tích $\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}$ bằng: