Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và điểm $S(2;0;3)$. Đường thẳng $(\Delta )$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+(2a-2)t\\ y=-2+at\\ z=-4+t\end{array}$, trong đó $t$ là tham số và $a,t\in \mathbb{R}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $S$ và $(\Delta )$, đường thẳng vuông góc với $(\alpha )$ tại $S$ cắt $(P)$ tại $N$. Khoảng cách $SN$ ngắn nhất bằng $\frac{m\sqrt{30}}{n},m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Tính giá trị biểu thức $m^2-n-1$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;1;3),B(-3;-1;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y-z+3=0$. Gọi điểm $M\in (\alpha )$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất, khi đó đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;3; − 1) ; mặt phẳng
 x= 3 + t1  x= 2 + 2t2
 
( P ) : 2 x − 2 y − z + 5 =0 và hai đường thẳng d1 :  y= 2 + 2t1 ; d 2 :  y= 3 + t2 . Đường thẳng d đi qua
 z= 5 − 3t 
 1  z =−5 + t2
điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 lần lượt tại B và C . Tính tổng khoảng cách từ B và C đến mặt
phẳng ( P ) .

Trong không gian có hệ trục Oxyz , đường thẳng ( d ) có phương trình: y = 3 + t và mặt phẳng
z = 1+ t

( $\Delta$ ) : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 . Góc giữa ( d ) và ( $\Delta$ ) bằng  . Khẳng định nào sau đây đúng?
3 3 3 3

Trong không gian cho hệ trục Oxyz , cho đường thẳng $\Delta$ : = = và mặt phẳng
2 1 2
( ) : 2 x + y + 3z - 10 = 0 . Gọi M ( a, b, c ) là giao điểm của ( ) và $\Delta$ . Tính 2a + b + c

Trong không gian cho hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : y = 2 - t và mặt phẳng
z = -1 - 2t

( P ) : x - 2 y + z - 1 = 0 . Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng (P) ; cắt và vuông góc với đường
thẳng d . Đường thẳng $\Delta$ không đi qua điểm nào dưới đây