Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét tập hợp $S$ gồm các điểm có tọa độ $(x;y)$ với $x,y$ là các số nguyên dương không vượt quá $15$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt $A,B$ từ tập $S$. Gọi $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Gọi $p$ là xác suất để điểm $C$ có tọa độ đều là các số nguyên. Tính giá trị của $225p$.

Tập $S$ có $15\times 15=225$ điểm, suy ra $n(\Omega )=C_{225}^2=25200$.
Trong tập $\{1;2;\dots ;15\}$ có $8$ số lẻ và $7$ số chẵn. Chia $225$ điểm của $S$ thành $4$ nhóm theo tính chẵn lẻ của $(x;y)$:
- Nhóm (Lẻ, Lẻ): $8\times 8=64$ điểm;
- Nhóm (Lẻ, Chẵn): $8\times 7=56$ điểm;
- Nhóm (Chẵn, Lẻ): $7\times 8=56$ điểm;
- Nhóm (Chẵn, Chẵn): $7\times 7=49$ điểm.
Trung điểm $C$ của $AB$ có tọa độ nguyên khi và chỉ khi $A,B$ thuộc cùng một nhóm. Số cách chọn thỏa mãn là:
$n(X)=C_{64}^2+C_{56}^2+C_{56}^2+C_{49}^2=2016+1540+1540+1176=6272$.
Vậy $p=\frac{6272}{25200}=\frac{56}{225}\Rightarrow 225p=56$. Đáp số: 56.