Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $1000$ con. Sau $2$ giờ, số lượng vi khuẩn tăng lên thành $4000$ con. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là $P^{\prime }(t)=k\cdot P(t)$, với $k$ là hằng số khác $0$ và $P(t)>0$ với $t\ge 0$.

Xét các số thực dương $x,y$ thoả mãn $2021^{2(x^2-y+1)}=\frac{2x+y}{(x+1{)}^2}$. Giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của biểu thức $P=2y-3x$ tại $y$ bằng

Cho biết phương trình $9^x-3^{x+1}+2=0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$. Tính tổng $S=x_1+x_2$.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $4^x+8=6\cdot 2^x$ bằng

Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức $m(t)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, trong đó $m_0$ là khối lượng chất phóng xạ ban đầu, $m(t)$ là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm $t$, $T$ là chu kì bán rã (là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ biến thành chất khác). Một chất phóng xạ độc hại cứ sau khoảng thời gian $T=24000$ năm thì một nửa chất phóng xạ này sẽ phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì $1\text{ kg}$ chất phóng xạ này sẽ không còn độc hại nữa, biết chất phóng xạ này không còn độc hại nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}\text{ gram}$?

Phương trình $3^{x-2}=\frac{3}{9^x}$ có nghiệm là