Gọi y > x là các số thực sao cho 3 x + ln(e x + 1) = y + ln(e y − e x ). Xác định giá trị nhỏ nhất của P = e y − 7e x .

Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ dự định sản xuất không quá $150$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N};1\le x\le 150$) được cho bởi hàm số $C(x)=5000+800x-3,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng $x$ sản phẩm và được cho bởi công thức $p(x)=2000-9x$ (nghìn đồng). Biết rằng sản phẩm sản xuất ra được tiêu thụ hết. Lợi nhuận lớn nhất mỗi tháng mà xưởng thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Một công ty nước ngoài đang cần thuê nhân viên để bán các hợp đồng bảo hiểm cho khách hàng. Công ty nhận thấy nếu thuê $x$ nhân viên với chi phí là $750\text{ USD/tuaˆˋn}$ cho mỗi nhân viên thì công ty sẽ bán được $q(x)=x^3-12x^2+60x$ hợp đồng bảo hiểm. Do hạn chế về không gian, công ty không thể thuê quá 7 nhân viên. Biết công ty nhận được $50\text{ USD}$ cho mỗi hợp đồng bán ra, chi phí cố định mỗi tuần là $2500\text{ USD}$.

Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A,B$ thuộc $(P)$, $C,D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox,Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\text{ m}$ với vận tốc ban đầu là $24,5\text{ m/s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$. Sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật thể tích là $36{\text{ m}}^3$, không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong trang trại. Do các điều kiện về diện tích trang trại, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $4\text{ m}$, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Gọi $x\text{ (m)}$ là chiều rộng của bể, ta có $0<x\le 4$. Khi đó

Bác Phát muốn làm một chiếc thùng hình trụ, thân thùng được làm từ một mảnh tôn hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $90\text{ cm}$. Bác cắt ra một tấm tôn hình chữ nhật $MNPQ$ (với $M,N$ thuộc cạnh $BC$; $P,Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AC,AB$) rồi cuộn lại sao cho hai mép $MQ$ và $NP$ trùng khít nhau để tạo thành thân thùng hình trụ có chiều cao bằng $MQ$ (như hình vẽ).

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bác Phát có thể làm được bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?