Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$. Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ toạ độ: đặt $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\overrightarrow{AD}=\mathbf{d},\overrightarrow{AS}=\mathbf{s}$ (với $A$ làm gốc). Khi đó $B=\mathbf{b},D=\mathbf{d},C=\mathbf{b}+\mathbf{d}$, $I=\frac{2\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}=\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}$, $K=\frac{\mathbf{b}}{2}+\mathbf{d}$, $M=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{b}}{2}$.

Điểm $F$ trên đường thẳng $DM$: $P(t)=\mathbf{d}+t\left(\frac{\mathbf{s}}{2}+\frac{\mathbf{b}}{2}-\mathbf{d}\right)$, với $t=0$ tại $D$, $t=1$ tại $M$.

Giải hệ $\mathbf{b}=\frac{4\mathbf{i}-2\mathbf{k}}{3},\mathbf{d}=\frac{4\mathbf{k}-2\mathbf{i}}{3}$, thay vào $P(t)$:
$$P(t)=\frac{t}{2}\mathbf{s}+\frac{4t-2}{3}\mathbf{i}+\frac{4-5t}{3}\mathbf{k}.$$

$P\in (SIK)$ khi tổng hệ số bằng 1:
$$\frac{t}{2}+\frac{4t-2}{3}+\frac{4-5t}{3}=\frac{t+4}{6}=1\Rightarrow t=2.$$

Vậy $F$ nằm trên tia $DM$ quá $M$ với $DF=2DM$, suy ra $MF=DM$ và $$\frac{MF}{MD}=1.$$