Tính giới hạn: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-3n^4+2n^2+5}{2n^4-7n^2+4n}$.

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là *tam giác trung bình* của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,\dots$ sao cho $A_1{B}_1{C}_1$ là một tam giác đều cạnh bằng $6$ và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$. Tổng $S=S_1+S_2+\cdots +S_n+\dots$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Giới hạn $\lim \frac{2n+1}{n+3}$ bằng

Tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{2}$ là:

Giá trị của $\lim \frac{8n^5-2n^3+1}{4n^5+2n^2+1}$ bằng

Cho một hình tam giác đều cạnh $a=40\text{ cm}$ (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); $\dots$ và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi $S_n$ là diện tích của hình ở bước thứ $n$ ($S_0$ là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một Pikachu khám phá “mê cung kỳ lạ” trong mặt phẳng $Oxy$, xuất phát từ $O$ và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:
- Bước đầu tiên: Dài $8$ đơn vị theo tia $Ox$.
- Các bước sau: Luôn rẽ trái $90^{\circ }$ so với bước liền trước và dài bằng $\frac{3}{4}$ bước liền trước.
(tham khảo hình bên).

Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?