Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là *tam giác trung bình* của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,\dots$ sao cho $A_1{B}_1{C}_1$ là một tam giác đều cạnh bằng $6$ và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$. Tổng $S=S_1+S_2+\cdots +S_n+\dots$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{2}$ là:

Cho một hình tam giác đều cạnh $a=40\text{ cm}$ (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); $\dots$ và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi $S_n$ là diện tích của hình ở bước thứ $n$ ($S_0$ là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một Pikachu khám phá “mê cung kỳ lạ” trong mặt phẳng $Oxy$, xuất phát từ $O$ và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:
- Bước đầu tiên: Dài $8$ đơn vị theo tia $Ox$.
- Các bước sau: Luôn rẽ trái $90^{\circ }$ so với bước liền trước và dài bằng $\frac{3}{4}$ bước liền trước.
(tham khảo hình bên).

Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?

Vào cuối năm 2022, báo Rossiyskaya Gazeta dẫn lời Bộ trưởng Tài nguyên Nga cảnh báo nước này sẽ cạn kiệt dầu mỏ sau 28 năm nữa nếu sản lượng khai thác hằng năm vẫn giữ như năm 2022. Bắt đầu từ năm 2023, nếu nước Nga mỗi năm giảm sản lượng khai thác $2\%$ so với năm trước thì sau bao nhiêu năm nữa nước này cạn kiệt dầu mỏ (chọn phương án có kết quả gần nhất với tính toán của bạn)?

Tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh $3a$, diện tích $S_1$. Trên các cạnh $A_1{B}_1,B_1{C}_1,C_1{A}_1$ lần lượt lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$ thỏa mãn $A_1{B}_1=3A_1{A}_2,B_1{C}_1=3B_1{B}_2,C_1{A}_1=3C_1{C}_2$ ta được tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có diện tích $S_2$. Tiếp tục như thế ta được tam giác thứ ba $A_3{B}_3{C}_3$ có diện tích $S_3$. Tương tự như thế, ta được diện tích $S_4,S_5,\dots$. Giá trị $S=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_{23}$ thuộc khoảng:

Câu 12. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $9\text{ m}$. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần trước rơi. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.