Xét tính liên tục của các hàm số sau
a) $f(x)=x^3-x^2+8x$.
b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}$.
c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$.
d) $f(x)=\sqrt{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định trên toàn trục thực nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$ xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$. Trên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$, hàm là thương của các hàm liên tục với mẫu khác 0 nên liên tục trên từng khoảng. Tại $x=0$: với $x\ne 0$, $f(x)=\frac{x}{x-3}$ nên ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$ (gián đoạn khắc phục được); tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=+\infty$. Vậy $f$ liên tục trên $(-\infty ;0)$, $(0;3)$, $(3;+\infty )$ và không liên tục tại $x=0$, $x=3$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Trên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ hàm liên tục (thương của các hàm liên tục, mẫu khác 0). Tại $x=-1$ hàm không xác định. Chú ý $\sin (-1)+1\approx 0,1585\ne 0$ (tử dương), còn mẫu $x+1$ đổi dấu qua $x=-1$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=+\infty$. Vậy $f$ liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, gián đoạn tại $x=-1$ (gián đoạn vô cực, không khắc phục được).

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$ xác định khi $x\ge 2$. Hàm căn là hàm liên tục trên tập xác định nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$. Riêng tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, tức $f$ liên tục phải tại $x=2$.