Giá trị của $\lim \frac{8n^5-2n^3+1}{4n^5+2n^2+1}$ bằng

Cho một hình tam giác đều cạnh $a=40\text{ cm}$ (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); $\dots$ và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi $S_n$ là diện tích của hình ở bước thứ $n$ ($S_0$ là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một Pikachu khám phá “mê cung kỳ lạ” trong mặt phẳng $Oxy$, xuất phát từ $O$ và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:
- Bước đầu tiên: Dài $8$ đơn vị theo tia $Ox$.
- Các bước sau: Luôn rẽ trái $90^{\circ }$ so với bước liền trước và dài bằng $\frac{3}{4}$ bước liền trước.
(tham khảo hình bên).

Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?

Cho các số thực $a;b;c$ thỏa mãn $c^2+a=8$ và $\lim \left(\sqrt{a{n}^2+bn}-cn\right)=2$. Hãy tính $P=a+b+c$.

Với $(u_n);(v_n)$ là các dãy số thực, tìm khẳng định sai.

Câu 12. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $u_1=2$, $u_{n+1}=u_n^2-u_n+1$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giới hạn của dãy $(s_n)$ với $s_n=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\cdots +\frac{1}{u_n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vào cuối năm 2022, báo Rossiyskaya Gazeta dẫn lời Bộ trưởng Tài nguyên Nga cảnh báo nước này sẽ cạn kiệt dầu mỏ sau 28 năm nữa nếu sản lượng khai thác hằng năm vẫn giữ như năm 2022. Bắt đầu từ năm 2023, nếu nước Nga mỗi năm giảm sản lượng khai thác $2\%$ so với năm trước thì sau bao nhiêu năm nữa nước này cạn kiệt dầu mỏ (chọn phương án có kết quả gần nhất với tính toán của bạn)?