Giới hạn $\lim \frac{2n+1}{n+3}$ bằng

Tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{2}$ là:

Giá trị của $\lim \frac{8n^5-2n^3+1}{4n^5+2n^2+1}$ bằng

Cho một hình tam giác đều cạnh $a=40\text{ cm}$ (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); $\dots$ và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi $S_n$ là diện tích của hình ở bước thứ $n$ ($S_0$ là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một Pikachu khám phá “mê cung kỳ lạ” trong mặt phẳng $Oxy$, xuất phát từ $O$ và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:
- Bước đầu tiên: Dài $8$ đơn vị theo tia $Ox$.
- Các bước sau: Luôn rẽ trái $90^{\circ }$ so với bước liền trước và dài bằng $\frac{3}{4}$ bước liền trước.
(tham khảo hình bên).

Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?

Cho các số thực $a;b;c$ thỏa mãn $c^2+a=8$ và $\lim \left(\sqrt{a{n}^2+bn}-cn\right)=2$. Hãy tính $P=a+b+c$.

Với $(u_n);(v_n)$ là các dãy số thực, tìm khẳng định sai.