Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$, $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=2MC$. Biết đường thẳng $SD$ cắt mặt phẳng $(ANM)$ tại điểm $I$ và $SD=5$ cm thì $SI$ bằng bao nhiêu xen-ti-mét?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AS}=\vec{s}$, khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Ta có:
- $N$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$.
- $SM=2MC$ nên $M$ chia đoạn $SC$ theo tỉ lệ $\frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec{s}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$.

Điểm $I$ trên đường thẳng $SD$: $\overrightarrow{AI}=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$ với $t=\frac{SI}{SD}$.

Vì $I\in (ANM)$ nên tồn tại $\alpha ,\beta$ sao cho $\overrightarrow{AI}=\alpha \overrightarrow{AN}+\beta \overrightarrow{AM}$:
$$\alpha (\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d})+\beta (\frac{1}{3}\vec{s}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d})=(\alpha +\frac{2}{3}\beta )\vec{b}+(\frac{1}{2}\alpha +\frac{2}{3}\beta )\vec{d}+\frac{1}{3}\beta \vec{s}.$$

So sánh hệ số với $\overrightarrow{AI}=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$ (lưu ý $\vec{b},\vec{d},\vec{s}$ độc lập tuyến tính):
- Hệ số $\vec{s}$: $\frac{\beta }{3}=1-t$.
- Hệ số $\vec{b}$: $\alpha +\frac{2\beta }{3}=0\Rightarrow \alpha =-\frac{2\beta }{3}$.
- Hệ số $\vec{d}$: $\frac{\alpha }{2}+\frac{2\beta }{3}=t\Rightarrow -\frac{\beta }{3}+\frac{2\beta }{3}=\frac{\beta }{3}=t$.

Từ hai phương trình $t=\frac{\beta }{3}$ và $1-t=\frac{\beta }{3}$ suy ra $t=1-t$, do đó $2t=1$, tức $t=\frac{1}{2}$.

Vậy $SI=\frac{1}{2}\cdot SD=\frac{1}{2}\cdot 5=2,5$ cm.