Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Hình chiếu song song của điểm $M$ theo phương $CD$ lên mặt phẳng $(ABD)$ là điểm nào sau đây?

Nếu $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình lăng trụ thì

Phương trình $\sin x=0$ có nghiệm là:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. Tìm tọa độ tất cả các giao điểm của (E) với trục Ox.

Trong các khẳng định sau. Khẳng định nào đúng?

Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm có 10 học sinh?

Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển $(x-3{)}^5$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AC$.
b) Đường thẳng $AP$ song song với mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) Mặt phẳng $(ANP)$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
d) Giả sử tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB=\sqrt{3}$. Gọi $E,E^{\prime }$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2},\frac{A^{\prime }{E}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$. Mặt phẳng qua $E{E}^{\prime }$ và song song với $BC$ cắt $MN,MP$ lần lượt tại $I,J$. Khi đó: $IJ=\frac{a\sqrt{6}}{b}$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, và $a+b=17$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Hàm số đã cho có tập xác định là $[-1;1]$.
b) Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) Tập nghiệm của phương trình $f(x)=1$ là $S=\left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.
d) Tổng các nghiệm của phương trình $f(x)=\frac{1}{2}$ trong đoạn $[0;2\pi ]$ là $3\pi$.

Cho hàm số $T(t)=\{\begin{array}{ll}30+3t& 0\le t\le 60\\ 210-2t& 60<t\le 100\end{array}$
a) $T(60)=210$
b) $\underset{t\to 60^{+}}{\lim }T(t)=90$
c) $\underset{t\to 60^{-}}{\lim }T(t)=90$
d) Hàm $T(t)$ liên tục trên $[0,100]$.

Cho cấp số nhân $(u_n)$, biết $u_1+u_5=51;u_2+u_6=102$. Khi đó:
a) Số hạng $u_1=3$.
b) Số hạng $u_4=48$.
c) Số 12288 là số hạng thứ 12 của cấp số nhân $(u_n)$.
d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là $765$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $AO$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với $BD$; $SA$ và mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SC$ tại $N$. Giả sử SN=kNC thì k bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng $d_1:y=2x-1$ và $d_2:y=x$. Xây dựng dãy các điểm $(A_n)$ nằm trên $d_1$ và dãy các điểm $(B_n)$ nằm trên $d_2$ theo cách sau:
+) $A_1,B_1$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $x=\frac{3}{2}$ với $d_1$ và $d_2$;
+) Với mỗi số nguyên $n\ge 2$, $B_n$ là giao điểm của $d_2$ với đường thẳng đi qua $A_{n-1}$ song song với trục hoành, $A_n$ là giao điểm của đường thẳng $d_1$ với đường thẳng qua $B_n$ và song song với trục tung (quan sát hình vẽ).
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $h_n$ là độ dài đoạn thẳng $A_n{B}_n$. Tính $\frac{h_{20}}{1024}$.

Cho hàm số $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=2025$. Biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}=1350$. Tính $a^2+b^2$.

Một hộ đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Xác suất để chọn được 3 thẻ ghi số $a,b,c$ trong hộ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Người ta định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 120 kg hóa chất A và 9 kg hóa chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II. Gọi số tấn nguyên liệu loại I cần sử dụng là $x$ (tấn); số tấn nguyên liệu loại II cần sử dụng là $y$ (tấn). Khi chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, tính $x+y$.

Cho hình chóp $SABC$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $\Delta ABC$. Các đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$, $SB$, $SC$, cắt mặt phẳng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{M{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{M{C}^{\prime }}{SC}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)