Tại một nhà máy sản xuất thép, hệ thống làm mát của nhà máy có thể tái sử dụng 80\% lượng nước sau mỗi lần làm mát. Ban đầu, nhà máy sử dụng $300m^3$ nước. Giả sử quá trình tái sử dụng lặp đi lặp lại mãi mãi, tổng lượng nước mà nhà máy có thể sử dụng là bao nhiêu?

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành sáu phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$. Từ hình vuông $C_2$ lại làm như trên được hình vuông $C_3$; cứ tiếp tục như vậy ta nhận được dãy các hình vuông $C_1$, $C_2$, $C_3$,$\dots$, C_n,$\dots$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $(i\in \{1,2,3,\dots \})$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+\dots +S_n+\dots$. Biết $T=\frac{288}{5}$, tính $a$?

Bạn Nam thả một quả bóng cao su từ độ cao $15(m)$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng bốn phần năm độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển được (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tính tổng vô hạn sau đây $S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^n}+...$

Tổng $S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots +{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n+\cdots$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_1=\frac{1}{4}$ và $u_{n+1}=\frac{n+1}{4n}\cdot u_n$. Giá trị của $u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+\dots +\frac{u_{20}}{20}$ bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Bạn Lượng thả một quả bóng cao su từ độ cao $3m$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, đơn vị: mét)?