Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_1=\frac{1}{4}$ và $u_{n+1}=\frac{n+1}{4n}\cdot u_n$. Giá trị của $u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+\dots +\frac{u_{20}}{20}$ bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Bạn Lượng thả một quả bóng cao su từ độ cao $3m$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, đơn vị: mét)?

Một con lắc đồng hồ thực hiện các dao động. Lần quét đầu tiên (từ trái sang phải) dài 20cm. Do lực cản, kể từ lần quét thứ hai trở đi, quãng đường của mỗi lần quét bằng 95\% quãng đường của lần quét ngay trước đó. Tính tổng quãng đường (cm) con lắc đi được từ trái sang phải cho đến khi dừng hẳn (làm tròn đến hàng đơn vị).

Một con lắc đồng hồ thực hiện các dao động. Lần quét đầu tiên (từ trái sang phải) dài 30cm. Do lực cản, kể từ lần quét thứ hai trở đi, quãng đường của mỗi lần quét bằng 90\% quãng đường của lần quét ngay trước đó. Tính tổng quãng đường (cm) con lắc đi được từ trái sang phải cho đến khi dừng hẳn (làm tròn đến hàng đơn vị).

Bạn Nam thả một quả bóng cao su từ độ cao $15(m)$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng bốn phần năm độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển được (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là *tam giác trung bình* của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,\dots$ sao cho $A_1{B}_1{C}_1$ là một tam giác đều cạnh bằng $6$ và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$. Tổng $S=S_1+S_2+\cdots +S_n+\dots$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{2}$ là: