Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $\left(i\in \{1,2,3,\dots ,n\}\right)$.
a) Tính cạnh của hình vuông $C_2$.
b) Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\dots +S_n\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi cạnh của $C_1$ được chia thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần dài $\frac{a}{4}$. Theo hình vẽ, cạnh của hình vuông $C_2$ là đoạn nối điểm chia thứ nhất trên một cạnh với điểm chia thứ ba trên cạnh kề, là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $\frac{a}{4}$ và $\frac{3a}{4}$. Vậy cạnh của $C_2$ là $$c_2=\sqrt{{\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac{9a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.$$ b) Diện tích $S_2=c_2^2=\frac{10a^2}{16}=\frac{5}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{S}_1$. Quá trình lặp lại như nhau nên $\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{5}{8}$, tức $(S_n)$ là cấp số nhân công bội $q=\frac{5}{8}$ với số hạng đầu $S_1=a^2$. Tổng: $$S_1+S_2+\dots +S_n=a^2\cdot \frac{1-{\left(\frac{5}{8}\right)}^n}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8a^2}{3}\left[1-{\left(\frac{5}{8}\right)}^n\right].$$ Do $\left|\frac{5}{8}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{5}{8}\right)}^n=0$, suy ra $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\dots +S_n\right)=\frac{2025}{a^2}\cdot \frac{8a^2}{3}=\frac{2025\cdot 8}{3}=5400.$$