Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA=SB=SC=SD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?

a) Các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều.

b) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$.

c) $MN\parallel (ABCD)$.

d) Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và $N$ song song với $AB$ cắt cạnh $SB$ tại $P$, cạnh $SD$ tại $Q$ thì diện tích của tứ giác $MPNQ$ là $\frac{a^2}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Chỉ biết $SA=SB=SC=SD$, không biết độ dài cạnh bên so với $a$, nên các mặt bên chỉ là tam giác cân, không chắc là tam giác đều.

b) Đúng. Trong $(ABCD)$ có $AB\parallel CD$, với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$. Theo tính chất giao tuyến, nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó. Vì $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa $S$ nên giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$).

c) Đúng. Trong tam giác $SAC$, $M$, $N$ là trung điểm của $SA$, $SC$ nên $MN\parallel AC$. Mà $AC\subset (ABCD)$, $MN\not\subset (ABCD)$, suy ra $MN\parallel (ABCD)$.

d) Sai. Vì $(\alpha )\parallel AB$ và $AB\subset (SAB)$ nên giao tuyến của $(\alpha )$ với $(SAB)$ là đường qua $M$ song song với $AB$, cắt $SB$ tại trung điểm $P$; tương tự $Q$ là trung điểm $SD$. Khi đó $MP\parallel NQ\parallel AB$ với $MP=NQ=\frac{a}{2}$, và $MN\parallel PQ\parallel AC$ với $MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành, góc giữa $MP$ và $MN$ bằng góc giữa $AB$ và $AC$ bằng $45^{\circ }$. Diện tích $S_{MPNQ}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{a^2}{4}\ne \frac{a^2}{2}$. Vậy mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Các mặt bên chỉ là tam giác cân vì không biết cạnh bên bằng $a$ hay không.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do $AB\parallel CD$, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN\parallel AC\subset (ABCD)$, suy ra $MN\parallel (ABCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P$, $Q$ là trung điểm $SB$, $SD$; $MPNQ$ là hình bình hành với $MP=\frac{a}{2}$, $MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, góc $45^{\circ }$, diện tích $=\frac{a^2}{4}\ne \frac{a^2}{2}$.