Bài 2 (1 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$.

a) Chứng minh đường thẳng $MN$ song song với mp(SCD).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng $(OMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. a) Trong tam giác SAB, M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MN // AB. Vì đáy ABCD là hình thang có AB là đáy lớn nên AB // CD, do đó MN // CD. Ta có: CD nằm trong mp(SCD); MN không nằm trong mp(SCD) (vì M, N thuộc mp(SAB) và MN // CD nên MN không thể cắt mp(SCD)). Vậy MN // mp(SCD).

b) Gọi P là giao điểm của BC và (OMN). Nhận xét: MN // AB và MN nằm trong (OMN), AB nằm trong mp(ABCD), MN không nằm trong mp(ABCD). Suy ra giao tuyến d của (OMN) và mp(ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB (vì nếu giao tuyến cắt MN thì nó nằm trong (SAB), mâu thuẫn vì O không thuộc (SAB); do đó d // MN // AB).

Trong mp(ABCD), vẽ qua O đường thẳng d song song với AB (đồng thời song song với CD). Vì AB // CD và O nằm giữa hai cạnh bên AD, BC (O là giao hai đường chéo của hình thang), đường thẳng d cắt cạnh BC tại một điểm P xác định. Khi đó P thuộc BC và P thuộc d ⊂ (OMN), nên P là giao điểm của đường thẳng BC và mp(OMN).

Tỉ số (tham khảo): trong tam giác BDC, OP // DC nên OP/DC = BO/BD. Mặt khác do AB // CD, O là giao hai đường chéo nên BO/BD = AB/(AB + CD). Vậy OP = DC · AB/(AB + CD), tức P là điểm trên BC sao cho đường thẳng qua P và O song song với hai đáy của hình thang.