Bài 1 (2 điểm).

a) Giải phương trình: $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1=0$.

b) Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\cot x}{\cos 2x-1}$.

c) Chứng minh rằng $\frac{1+\sin 2a}{1-\sin 2a}={\cot }^2\left(a-\frac{\pi }{4}\right)$.

d) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_5=19,u_9=35$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

a) $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$.
Suy ra $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Vậy $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) Hàm số $y=\frac{\cot x}{\cos 2x-1}$ xác định khi $\sin x\ne 0$ (để $\cot x$ xác định) và $\cos 2x-1\ne 0$.
- $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$.
- $\cos 2x\ne 1\iff 2x\ne k2\pi \iff x\ne k\pi$.
Hai điều kiện trùng nhau, vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

c) Ta có $1+\sin 2a={\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a=(\sin a+\cos a{)}^2$ và $1-\sin 2a=(\sin a-\cos a{)}^2$.
Mặt khác: $\cos \left(a-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\cos a+\sin a}{\sqrt{2}}$, $\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin a-\cos a}{\sqrt{2}}$.
Do đó ${\cot }^2\left(a-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{(\cos a+\sin a{)}^2}{(\sin a-\cos a{)}^2}=\frac{1+\sin 2a}{1-\sin 2a}$. (đpcm)

d) $u_9-u_5=4d=35-19=16\Rightarrow d=4$.
$u_1=u_5-4d=19-16=3$.
Vậy số hạng đầu $u_1=3$, công sai $d=4$.