Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$ , $BN=\frac{1}{3}BD$ . Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. O là trung điểm BD, O' là trung điểm BF nên trong tam giác DBF, OO' là đường trung bình, suy ra OO' ∥ DF. Vì DF ⊂ (ADF) và OO' ⊄ (ADF) nên OO' ∥ (ADF).

b) Sai. Xét tam giác ACE: O là trung điểm AC (tâm hình bình hành ABCD), O' là trung điểm AE (tâm hình bình hành ABEF), nên OO' là đường trung bình ⇒ OO' ∥ CE. Vì CE ⊂ (BCE) và OO' ⊄ (BCE) nên OO' ∥ (BCE), tức OO' không cắt mặt phẳng (BCE).

c) Sai. Theo giả thiết BN = (1/3)BD nên BN/BD = 1/3, không phải 2/3.

d) Đúng. Chọn A làm gốc, ta có M = (2/3)A + (1/3)E, N = (2/3)B + (1/3)D, nên vector MN = (2/3)AB + (1/3)AD − (1/3)AE. Vì AE = AB + AF và AD = BC: MN = (1/3)AB + (1/3)BC − (1/3)AF = (1/3)(AC − AF) = −(1/3)CF. Vậy MN ∥ CF, mà CF ⊂ (CDFE) và M ∉ (CDFE) (vì M ∈ AE với M ≠ E), suy ra MN ∥ (CDFE).
a) (AI giải đề cho tôi)
O trung điểm BD, O' trung điểm BF ⇒ OO' là đường trung bình tam giác DBF ⇒ OO' ∥ DF ⊂ (ADF), nên OO' ∥ (ADF).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ACE, O trung điểm AC, O' trung điểm AE ⇒ OO' ∥ CE ⊂ (BCE) ⇒ OO' ∥ (BCE), do đó OO' không cắt mặt phẳng (BCE).
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết BN = (1/3)BD nên BN/BD = 1/3 ≠ 2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc A: MN = (2/3)AB + (1/3)AD − (1/3)AE = (1/3)(AB + BC − AF) = −(1/3)CF (vì CF = AF − AB − BC). Suy ra MN ∥ CF ⊂ (CDFE) và M ∉ (CDFE), nên MN ∥ (CDFE).