Cho $\tan \alpha =2$. Tính $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$.

Cho $\cos \alpha =-\frac{3}{5};\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ thì $\sin 2\alpha$ bằng:

Tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ là

Tập xác định $D$ của hàm số $y=\frac{5\sin x}{\cos x-3}$ là

Tập xác định của hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ là

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

Tập giá trị của hàm số $y=\sin 4x-3$ là:

Tổng các nghiệm của phương trình $2\sin \left(x+40^{\circ }\right)=\sqrt{3}$ trên khoảng $\left(-180^{\circ };180^{\circ }\right)$ là

Nghiệm của phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ là

Phương trình $\tan \left(3x-15^{\circ }\right)=\sqrt{3}$ có các nghiệm là:

Các họ nghiệm của phương trình $\sin 2x-\sqrt{3}\sin x=0$ là:

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5; 10; 15; 20; 25; … Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_n=2n$. Liệt kê 5 số hạng đầu của dãy số

Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào giảm?

Xét tính bị chặn của các dãy số sau: $u_n=3n-1$

Trong các dãy số $u_n$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào bị chặn?

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=2022$ và công sai $d=7$. Giá trị của $u_2$ bằng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=3$ và $u_2=7$ thì công sai bằng

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là:

Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ $(AB//CD)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho tứ diện $ABCD$. $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Giao tuyến của mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ là:

Cho hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Chọn mệnh đề đúng.

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho tứ diện $ABCD$, gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $ABC$. Đường thẳng $IJ$ song song với đường nào?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB$; $P$, $Q$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $CD$. Xác định vị trí tương đối của $MQ$ và $NP$.

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình bình hành. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho phương trình lượng giác $\sin 2x=-\frac{1}{2}$ (*). Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho phương trình lượng giác $\tan \left(2x-15^{\circ }\right)=1$ (*). Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho phương trình lượng giác $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho phương trình lượng giác $2\cos x=\sqrt{3}$, khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho phương trình $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ (*), vậy: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho phương trình lượng giác $\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho phương trình lượng giác $3-\sqrt{3}\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0$, khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BC$, $BD$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $I,J$ và cắt các cạnh $AC,AD$ lần lượt tại hai điểm $M,N$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$, điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$, $P$ là trung điểm cạnh $SA$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$ , $BN=\frac{1}{3}BD$ . Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho $\cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}\left(-\frac{\pi }{2}<x<0\right)$ . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Cho $\tan x=\frac{3}{4}\left(-\pi <x<-\frac{\pi }{2}\right)$ . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Cho $\tan \alpha =10$ . Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$

Tính giá trị $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$ biết $\sin \alpha =\frac{1}{3},\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ .

Giải các phương trình

a. $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ b. $2\sin \left(x-60^{\circ }\right)+\sqrt{2}=0$ . c. $\tan \left(3x-30^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành, với E, F là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ , $(SAC)$ và $(SBD)$ .

b) Tìm giao tuyến của $(SEF)$ với các mặt phẳng $(SAD),(SBC)$ .

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ .

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng $(IBC),(JAD)$ .

b) $M$ là một điểm trên cạnh $AB$ , $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC),(DMN)$ .

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình thap có đáy lớn $AD$ . Gọi $I$ là trung điểm của $SA$ , $J$ là điểm nằm trên $AD$ sao cho $JD=\frac{1}{4}AD$ , $K\in SB:SK=2BK$ .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) $(IJK)$ và $(ABCD)$ .

b) (IJK) và (SBD).

c) (IJK) và (SCB).

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thap, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.

a) Tìm giao điểm của IK và (SBD).

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AD và BC không song song với nhau. Lấy I thuộc SA sao cho SA = 3IA, J thuộc SC và M là trung điểm của SB.

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm E của AB và (IJM)

c) Tìm giao điểm F của BC và (IJM)

d) Tìm giao điểm N của SD và (IJM)

e) Gọi H là giao điểm của MN và BD. Chứng minh rằng H, E, F thẳng hàng.

Độ cao h (tính bằng kilômét) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức $$h=550+450\cdot \cos \frac{\pi }{50}t$$. Trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250 km. Trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, hãy tìm thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó?

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khung lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ $(O;y_0)$ là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là: $$y=\frac{-g\cdot x^2}{2\cdot v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha }+\tan (\alpha )\cdot x+y_0$$; trong đó:

- g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²);

- α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

- v_0 là vận tốc ban đầu của cầu;

- y_0 là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Một người chơi cầu lông đang đứng khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa) là $6,68m$. Quan sát hình bên dưới, hỏi người chơi đã phát cầu góc khoảng bao nhiêu độ so với mặt đất? (biết cầu rời mặt vợt ở độ cao $0,7m$ so với mặt đất và vận tốc xuất phát của cầu là $8m/s$, bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng phẳng đứng).