Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình thap có đáy lớn $AD$ . Gọi $I$ là trung điểm của $SA$ , $J$ là điểm nằm trên $AD$ sao cho $JD=\frac{1}{4}AD$ , $K\in SB:SK=2BK$ .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) $(IJK)$ và $(ABCD)$ .

b) (IJK) và (SBD).

c) (IJK) và (SCB).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là giao điểm của $IK$ với đường thẳng $AB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, vì $I\in SA$, $K\in SB$ nên $E=IK\cap AB$ xác định duy nhất. Chọn hệ quy chiếu trong mặt phẳng $(SAB)$ với $S=(0,0),A=(1,0),B=(0,1)$: $I=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $K=\left(0,\frac{2}{3}\right)$ (do $SK=2BK\Rightarrow SK=\frac{2}{3}SB$). Đường thẳng $IK$: $2x+\frac{3}{2}y=1$; đường thẳng $AB$: $x+y=1$. Giải hệ được $x=-1,y=2$, tức $E$ nằm trên đường thẳng $AB$ kéo dài phía ngoài $A$ và $AE=2AB$ (kiểm tra bằng Menelaus trong tam giác $SAB$ với đường thẳng $IK$: $\frac{SI}{IA}\cdot \frac{AE}{EB}\cdot \frac{BK}{KS}=1\cdot \frac{AE}{EB}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{AE}{EB}=2$, phù hợp).

a) $J\in AD\subset (ABCD)$ và $J\in (IJK)$; $E=IK\cap (ABCD)$ (vì $E\in AB\subset (ABCD)$) và $E\in (IJK)$. Vậy giao tuyến của $(IJK)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $JE$, với $E=IK\cap AB$ kéo dài, $AE=2AB$.

b) $K\in SB\subset (SBD)$ nên $K$ là điểm chung thứ nhất. Gọi $M=JE\cap BD$. Chọn hệ toạ độ trong mặt phẳng đáy: $A=(0,0),D=(4,0)$ (đáy lớn $AD$), $B=(p,h),C=(q,h)$ với $BC\parallel AD$. Khi đó $J=(3,0)$ (vì $JD=\frac{1}{4}AD=1$), $E=(2p,2h)$ (vì $AE=2AB$). Đường thẳng $JE$: $(3+t(2p-3),2th)$; đường thẳng $BD$: $(p+s(4-p),h(1-s))$. So sắp tung độ: $2t=1-s$; so sắp hoành độ: $4-8t+2pt=3+2pt-3t\Rightarrow t=\frac{1}{5}$, suy ra $s=\frac{3}{5}$. Vậy $M$ nằm trong đoạn $BD$ với $BM=\frac{3}{5}BD$. Vì $M\in JE\subset (IJK)$ và $M\in BD\subset (SBD)$, giao tuyến của $(IJK)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $KM$.

c) $K\in SB\subset (SCB)$ nên $K$ là điểm chung thứ nhất. Gọi $F=JE\cap BC$. Trong hệ toạ độ trên, giao điểm của $JE$ với đường thẳng $BC$ ($y=h$) có $t=\frac{1}{2}$, hoành độ $x=\frac{2p+3}{2}=p+\frac{3}{2}$, tức $F\in BC$ (hoặc đường thẳng $BC$) với $BF=\frac{3}{2}=\frac{3}{8}AD$ (kéo dài nếu cần). Vì $F\in JE\subset (IJK)$ và $F\in BC\subset (SCB)$, giao tuyến của $(IJK)$ và $(SCB)$ là đường thẳng $KF$.

Tóm tắt: a) Giao tuyến là $JE$ với $E=IK\cap AB$ (kéo dài), $AE=2AB$. b) Giao tuyến là $KM$ với $M=JE\cap BD$, $BM=\frac{3}{5}BD$. c) Giao tuyến là $KF$ với $F=JE\cap BC$, $BF=\frac{3}{8}AD$.