Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là một hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt thuộc $SA$ và $SD$ sao cho $SM=\frac{1}{2}SA$ và $SN=\frac{1}{3}SD$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, SM = ½SA, SN = ⅓SD.

a) SAI. M thuộc mặt phẳng (SAD). Mặt phẳng (SBN) ∩ (SAD) = SN (vì chung S và N). M thuộc SA; M thuộc SN chỉ khi A, S, D thẳng hàng (vô lý). Vậy M không thuộc (SBN).

b) SAI. MN nằm trong (SAD). Nếu MN // BC thì do BC // AD nên MN // AD, suy ra SM/SA = SN/SD = 1/2, mâu thuẫn với SN = ⅓SD. Vậy MN không song song BC (MN và BC chéo nhau).

c) SAI. Vì O là tâm hình bình hành nên A, O, C thẳng hàng, do đó C ∈ (OMA). Mặt khác A, M cùng thuộc đường thẳng SA nên (OMA) chứa đường thẳng SA, suy ra S ∈ (OMA). Mà S, C đều thuộc (SCD), vậy giao tuyến của (OMA) và (SCD) là đường thẳng SC — đi qua C nhưng KHÔNG song song với SD. Khẳng định sai.

d) ĐÚNG. N thuộc SD ⊂ (SBD) nên N ∈ (SBD); M ∈ (SAD). Giao tuyến của (SAD) và (SBD) là SD. MN cắt (SBD) tại chính N, tức P ≡ N. Đường thẳng qua N và D (tức SD) cắt BD tại D, nên P thuộc đường thẳng đi qua N và cắt BD. Khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBN) ∩ (SAD) = SN; M ∈ SA nhưng M ∉ SN nên M không thuộc (SBN).
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu MN // BC thì MN // AD, đòi hỏi SM/SA = SN/SD, nhưng 1/2 ≠ 1/3, vô lý.
c) (AI giải đề cho tôi)
(OMA) chứa AC (vì A, O, C thẳng hàng) và chứa SA (vì A, M ∈ SA), nên giao tuyến với (SCD) là SC, không song song SD.
d) (AI giải đề cho tôi)
N ∈ SD ⊂ (SBD) nên P = MN ∩ (SBD) = N; đường thẳng qua N và D cắt BD tại D, nên P thuộc đường thẳng qua N cắt BD.