Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thap, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.

a) Tìm giao điểm của IK và (SBD).

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ ($AB$ là cạnh đáy lớn). Ta dùng phương pháp tìm giao tuyến bằng cách tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

a) Tìm giao điểm của $IK$ và $(SBD)$:
- Trong mặt phẳng đáy, gọi $E=JK\cap BD$. Vì $J\in AB\subset (SBD)$? — chính xác hơn: $E\in BD\subset (SBD)$ và $E\in JK\subset (IJK)$, nên $E$ là điểm chung của $(IJK)$ và $(SBD)$.
- Trong mặt phẳng $(SAB)$: $IJ$ và $SB$ đồng phẳng nên cắt nhau tại $P=IJ\cap SB$. Khi đó $P\in (IJK)$ và $P\in SB\subset (SBD)$, nên $P$ là điểm chung thứ hai.
- Vậy $(IJK)\cap (SBD)=PE$.
- Vì $IK\subset (IJK)$, giao điểm $T$ của $IK$ với $(SBD)$ chính là giao điểm của $IK$ với $PE$ (cùng nằm trong mặt phẳng $(IJK)$). Kết luận: $T=IK\cap PE$.

b) Tìm giao điểm của $(IJK)$ với $SD$ và $SC$:
- Giao điểm với $SD$: $SD\subset (SBD)$, mà $(SBD)\cap (IJK)=PE$, nên giao điểm $N=SD\cap PE$.
- Giao điểm với $SC$: Xét $(SBC)$: $K\in BC\subset (SBC)$ và $K\in (IJK)$; $P\in SB\subset (SBC)$ và $P\in (IJK)$. Vậy $(SBC)\cap (IJK)=PK$. Giao điểm $M$ của $SC$ với $(IJK)$ là $M=SC\cap PK$.

Nhận xét: các điểm $P$, $E$ có thể nằm ngoài các đoạn thẳng tương ứng (kéo dài các đoạn thẳng khi cần). Nếu trong vị trí cụ thể $IJ\parallel SB$ thì thay bằng cách khác, nhưng với vị trí tổng quát cách trên luôn cho kết quả.