Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 9. Hai mặt bên $SAB$, $SCD$ là các tam giác đều, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ và $E$ là điểm di động trên đoạn thẳng $BG$ ($E$ khác $B$). Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $E$, song song với $SA$ và $BC$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $SB$, $SC$, $DC$, $BA$ với mặt phẳng $(\alpha )$ và $I$ là giao điểm của $QM$ và $PN$. Tính chu vi tam giác $IPQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(9;0;0)$, $C(9;9;0)$, $D(0;9;0)$. Vì $SAB$ và $SCD$ đều cạnh 9 nên $S$ cách đều bốn đỉnh đáy: $S\left(\frac{9}{2};\frac{9}{2};\frac{9}{\sqrt{2}}\right)$. Trọng tâm $G$ của $SAB$: $G\left(\frac{9}{2};0;\frac{3}{\sqrt{2}}\right)$. Điểm $E$ trên $BG$: $E=\left(9-\frac{9t}{2};0;\frac{3t}{\sqrt{2}}\right)$ với $t\in (0;1]$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $E$, song song $SA$ (vt $\propto (1;1;\sqrt{2})$) và $BC$ (vt $\propto (0;1;0)$) có vtpt $\vec{n}=(-\sqrt{2};0;1)$, nên $(\alpha )$: $z=\sqrt{2}\left(x-9+\frac{9t}{2}\right)+\frac{3t}{\sqrt{2}}$.

• $Q\in BA$ ($y=0,z=0$): $x=9-6t\Rightarrow Q(9-6t;0;0)$, $BQ=6t$.
• $M\in SB$: $M=B+s(S-B)$, thay vào phương trình mặt phẳng được $s=\frac{2t}{3}$, tức $BM=6t$, $M(9-3t;3t;3\sqrt{2}t)$. Vì $BQ=BM=6t$ và góc $QBM=60^{\circ }$ nên $QM=6t$ và $QM\parallel SA$.
• $P\in DC$ ($y=9,z=0$): $P(9-6t;9;0)$, $QP=9$ (song song $BC$).
• $N\in SC$: $N=S+u(C-S)$, giải được $u=1-\frac{2t}{3}$, $N(9-3t;9-3t;3\sqrt{2}t)$, $PN=6t$ với $\overrightarrow{PN}\propto (1;-1;\sqrt{2})$.

$I=QM\cap PN$: viết $I=Q+\lambda (1;1;\sqrt{2})=P+\mu (1;-1;\sqrt{2})$. So sánh hoành độ: $\lambda =\mu$; so sánh tung độ: $\lambda =9-\lambda \Rightarrow \lambda =\frac{9}{2}$. Vậy $I=\left(\frac{27}{2}-6t;\frac{9}{2};\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)$.

Kết quả (không phụ thuộc $t$):
$$PQ=9,QI=\sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+{\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{81}{4}\cdot 4}=9,$$
$$IP=\sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{9}{2}\right)}^2+{\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=9.$$
Chu vi tam giác $IPQ=9+9+9=27$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (27).