Trong hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy $r(cm)$, chiều cao $h(cm)$ nội tiếp hình nón có bán kính đáy $9cm$, chiều cao $18cm$. Tìm giá trị của $r$ để thể tích của hình trụ là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $cm$)

Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí $A$ của một tỉnh miền trung muốn đến xã $C$ để tiếp tế lương thực và thuốc men, phải đi theo con đường từ $A$ đến $B$ và từ $B$ đến $C$ (như hình vẽ). Tuy nhiên, do nước ngập con đường từ $A$ đến $B$ nên đoàn cứu trợ không thể đến $C$ bằng xe, nhưng đoàn cứu trợ có thể chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $D$ trên đoạn đường từ $B$ đến $C$ với vận tốc 4 km/h, rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc 6 km/h. Biết $A$ cách $B$ một khoảng 5 km, $B$ cách $C$ một khoảng 7 km. Hỏi vị trí điểm $D$ cách $A$ bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)?

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm diện tích đáy của chiếc hộp khi thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.


Hình 1.17

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2}$ (con) trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Câu 2: Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. Chi phí cho $n$ máy chạy trong một giờ là $10(6n+10)$ nghìn đồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?

Một đường cáp điện được kéo từ một trạm điện $A$ ở một bờ sông rộng 900 mét đến một nhà máy $B$ ở bờ bên kia của sông, nhà máy cách trạm điện 3000 mét tính xuôi theo bờ sông. Đường cáp này được mô hình hóa thành đường gấp khúc $APB$ như hình vẽ, trong đó đoạn $PB$ đặt trên bờ sông. Giả định rằng tỉ lệ giữa chi phí để kéo 1 mét cáp dưới nước và chi phí kéo 1 mét cáp trên bờ bằng 1,25. Hỏi để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí $P$ cách nhà máy $B$ bao nhiêu mét?

Một người quản lý ở một trại nuôi cá xác định rằng: Sau $t$ tháng kể từ khi thả 300 con cá X (với $0\le t\le 10$) thì khối lượng trung bình $m(t)$ tính theo kilogram của một con cá X ước tính là $m(t)=0,45\left(0,2+\frac{141}{155}t-0,05t^2\right)$. Người này cũng nhận định tỉ lệ giữa số lượng cá X còn sống trong ao so với số lượng cá X thả ban đầu sau $t$ tháng kể từ ngày thả là $p(t)=\frac{31}{31+t}$. Biết rằng sản lượng cá X tại một thời điểm được tính bằng tổng khối lượng của các con cá X đã thả còn sống trong ao lúc đó. Hỏi với những nhận định trên của người quản lý thì dự kiến trong tối đa 10 tháng nuôi, sản lượng cá X lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu (kết quả tính theo đơn vị kilogram)?