Luật bình phương nghịch đảo phát biểu rằng: Mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương của sự gia tăng khoảng cách. Sử dụng luật bình phương nghịch đảo, hãy giải quyết bài toán sau: ông Bảo có một mảnh đất lớn có chiều dài mặt tiền là $L$ (mét) ở giữa 2 hai quán karaoke thường phát ra âm thanh có cường độ lần lượt là $I_1$ và $I_2$. Ông Bảo định xây một ngôi nhà nhỏ trên mảnh đất đó nhưng muốn tìm vị trí sao cho chịu ảnh hưởng của âm thanh từ 2 quán karaoke là ít nhất.

a) Sai: Gọi $x$ là khoảng cách từ vị trí dự kiến xây ngôi nhà đến quán karaoke có cường độ âm thanh $I_1$ thì khi ấy mức âm thanh từ hai quán karaoke ảnh hưởng đến ngôi nhà được biểu diễn dưới hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ trong đó $0<x<L$; do mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương nên giá trị $k$ đề cập ở mệnh đề xem như bằng 1.
b) Đúng: Xét hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ với $0<x<L$. Ta có $f^{\prime }(x)=-\frac{2I_1}{x^3}+\frac{2I_2}{(L-x{)}^3}$. Giải $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}};k=\frac{I_2}{I_1}$. Xét $f^{\prime \prime }(x)$ để thấy $f^{\prime \prime }\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)>0$, cùng với ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to L}f(x)=+\infty$ nên $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}$ là điểm cực tiểu của $f(x)$ tức ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)$. Với $I_1=I_2$ tức $k=1$ suy ra nhỏ nhất khi $x=\frac{L}{2}$.
c) Đúng: Với $I_1=8I_2$ tức $k=\frac{1}{8}$ suy ra cường độ âm tổng hợp nhỏ nhất khi $x=\frac{2L}{3}$, khi ấy khoảng cách từ nhà đến $I_2$ là $\frac{L}{3}$. Như vậy khoảng cách giảm đi $\left|\frac{L}{2}-\frac{L}{3}\right|=\frac{L}{6}$ so với tỉ lệ ban đầu $I_1=I_2$.
d) Sai: Từ giả thiết $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\to k=\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{L}{L-2}-1\right)}^3=\frac{8}{(L-2{)}^3}$. Cần $k\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}=\frac{2}{m},m\in \mathbb{Z}$. Do $L$ nguyên dương nên $m$ là ước nguyên dương của 2, suy ra $m=1\to k=1$, $m=2\to k=8$ tức có 2 giá trị nguyên $k$.
a) Sai: Gọi $x$ là khoảng cách từ vị trí dự kiến xây ngôi nhà đến quán karaoke có cường độ âm thanh $I_1$ thì khi ấy mức âm thanh từ hai quán karaoke ảnh hưởng đến ngôi nhà được biểu diễn dưới hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ trong đó $0<x<L$. Giải thích: do mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương nên giá trị $k$ đề cập ở mệnh đề xem như bằng 1.
b) Đúng: Xét hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ với $0<x<L$. Ta có: $f^{\prime }(x)=-\frac{2I_1}{x^3}+\frac{2I_2}{(L-x{)}^3}$. Giải $f^{\prime }(x)=0\iff \frac{k}{(L-x{)}^3}=\frac{1}{x^3}\iff x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}};k=\frac{I_2}{I_1}$. Xét $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6I_1}{x^4}-\frac{6I_2}{(L-x{)}^4}$ để thấy $f^{\prime \prime }\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)>0$, cùng với ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to L}f(x)=+\infty$ nên ta suy ra $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ tức ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)$. Với $I_1=I_2$ tức $k=1$ ta suy ra ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{L}{2}\right)$ tức nhỏ nhất khi $x=\frac{L}{2}$.
c) Đúng: Với $I_1=8I_2$ tức $k=\frac{1}{8}$ ta suy ra ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{2L}{3}\right)$ tức cường độ âm tổng hợp nhỏ nhất khi $x=\frac{2L}{3}$ tức khoảng cách từ nhà ông Bảo đến $I_1$ là $x=\frac{2L}{3}$, khi ấy ta suy ra khoảng cách từ nhà ông Bảo đến $I_2$ là $L-\frac{2L}{3}=\frac{L}{3}$. Như vậy khoảng cách giảm đi $\left|\frac{L}{2}-\frac{L}{3}\right|=\frac{L}{6}$ so với tỉ lệ ban đầu là $I_1=I_2$.
d) Sai: Từ giả thiết ta có $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\to k=\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{L}{L-2}-1\right)}^3=\frac{8}{(L-2{)}^3}$. Ta cần $k\in \mathbb{Z}\to \frac{8}{(L-2{)}^3}={\left(\frac{2}{L-2}\right)}^3\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}=\frac{2}{m},m\in \mathbb{Z}$. Do $L$ nguyên dương nên $L-2$ nguyên dương tức $m$ là 1 ước nguyên dương của 2. Suy ra $m=1\to k=1$, $m=2\to k=8$ tức có 2 giá trị nguyên $k$.