Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ nguyên dương thỏa mãn $2^{(x-1)(x+1)}\ln \left[(x+1{)}^2+1\right]=2^{y-x-3}\ln \sqrt{x+y-1}$ và $x,y\le 2025$?

Chọn B
Điều kiện: $x+y-1>0$.
Từ giả thiết $2^{(x-1)(x+1)}\ln \left[(x+1{)}^2+1\right]=2^{y-x-3}\ln \sqrt{x+y-1}$
$\iff 2^{x^2-1}\ln \left[x^2+2x+2\right]=2^{y-x-4}\ln (x+y-1)$
$\iff 2^{x^2+3}\ln \left(x^2+2x+2\right)=2^{y-x}\ln (x+y-1)$
$\iff 2^{x^2+2x+2}\ln \left(x^2+2x+2\right)=2^{x+y-1}\ln (x+y-1)$.
Vì $x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên suy ra $x+y\ge 2$. Do đó: $x+y-1\ge 1$.
Xét hàm số $f(t)=2^t\ln t$ trên $[1;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(t)=2^t\cdot \ln 2\cdot \ln t+2^t\cdot \frac{1}{t}>0,\forall t\ge 1$.
Suy ra hàm số đồng biến trên $[1;+\infty )$.
Ta thấy $f\left(x^2+2x+2\right)=f(x+y-1)$.
Suy ra $\Rightarrow x^2+2x+2=x+y-1$
$\iff y=x^2+x+3\le 2025$.
$\iff x^2+x-2022\le 0\Rightarrow x\in \left[1;\frac{-1+\sqrt{8089}}{2}\right]$
Vậy có 44 giá trị nguyên của $x$.