Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=AC=a$, $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$ và khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính $\cos [A,SB,C]$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, suy ra $SD\perp (ABC)$.
Do $SD\perp AB$, $SB\perp AB$ nên $DB\perp AB$.
Tương tự, $SD\perp AC$, $SC\perp AC$ nên $DC\perp AC$.
Suy ra $ABDC$ là hình chữ nhật.
Mà $AB=AC=a$ nên tứ giác $ABDC$ là hình vuông cạnh $a$.
Trong tam giác vuông $SDC$, kẻ $DE\perp SC$.
Ta có $AC\perp (SDC)\Rightarrow AC\perp DE$, $SC\perp DE\Rightarrow DE\perp (SAC)$.
Mà $BD\parallel AC$, $AC\subset (SAC)\Rightarrow BD\parallel (SAC)$ nên $\mathrm{d}(B,(SAC))=\mathrm{d}(D,(SAC))=DE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác vuông $SDC$ tại $D$ có $DE\perp SC$, áp dụng hệ thức lượng:
$$\frac{1}{D{E}^2}=\frac{1}{D{C}^2}+\frac{1}{S{D}^2}\Rightarrow SD=\frac{DC\cdot DE}{\sqrt{D{C}^2-D{E}^2}}=\frac{a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=\sqrt{3}a.$$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, kẻ $DK\perp SO$.
Do $BC\perp AD$, $BC\perp SD\Rightarrow BC\perp (SDO)$, $DK\subset (SDO)\Rightarrow BC\perp DK$.
Suy ra $DK\perp (SBC)$ nên
$d(D,(SBC))=DK=\frac{DO\cdot SD}{\sqrt{D{O}^2+S{D}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}a}{\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+3a^2}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.
Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ $AH\parallel DK$ với $H\in SO$.
Suy ra $AH\perp (SBC)$ và $AH=DK=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.
Ta có $AH\perp SB$, $AB\perp SB\Rightarrow SB\perp (ABH)$, suy ra góc phẳng nhị diện $[A,SB,C]$ là $\widehat{ABH}$.
Tam giác vuông $ABH$ tại $H$, ta có
$$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{21}}{7}\right)}^2}=\frac{2a\sqrt{7}}{7}.$$
Do đó ta có
$$\cos \widehat{ABH}=\frac{BH}{AB}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\approx 0,76.$$
Vậy $\cos [A,SB,C]=0,76$.