Ông Bé đang cho chiếc xe máy cày đi từ vị trí A đến vị trí C trên một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều rộng 100 m và chiều dài 200 m. Mảnh đất này có một phần là bãi cỏ được giới hạn bởi một parabol có bề rộng BC với đỉnh là tâm O của hình chữ nhật ABCD, phần còn lại là ruộng nước. Chiếc máy cày của ông khi đi trên ruộng nước sẽ có vận tốc bằng 6 km/h, khi đi trên bãi cỏ sẽ có vận tốc 22 km/h. Hỏi thời gian ngắn nhất mà ông Bé hoàn thành đoạn đường đi từ A tới C là bao nhiêu phút? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm của phút, chỉ làm tròn ở phép tính cuối cùng.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục toạ độ (mét): A(0;0), B(0;100), C(200;100), D(200;0), tâm O(100;50). Parabol có bề rộng BC và đỉnh O nên có dạng $f(x)=50+\frac{(x-100{)}^2}{200}$; bãi cỏ là miền giữa parabol và cạnh BC (miền lồi, nên đoạn thẳng nối hai điểm trong miền nằm hoàn toàn trong miền). Đường thẳng AC: $y=x/2$ cắt parabol tại O(100;50) và C, nên đoạn O→C nằm trong bãi cỏ.

Xét đường đi tối ưu: đi thẳng trên ruộng nước từ A đến điểm $P(x;f(x))$ trên parabol, rồi đi thẳng trong bãi cỏ từ P đến C. Thời gian (giờ):
$$T(x)=\frac{\sqrt{x^2+f(x{)}^2}}{6000}+\frac{\sqrt{(200-x{)}^2+(100-f(x){)}^2}}{22000},f^{\prime }(x)=\frac{x-100}{100}.$$

Khảo sát: $T(0)\approx 0,02576$; $T(40)\approx 0,020566$; $T(49)\approx 0,0203694$; $T(50)\approx 0,0203679$; $T(52)\approx 0,0203764$; $T(100)\approx 0,02372$; $T(200)\approx 0,03333$. Đạo hàm: $T^{\prime }(x)=\frac{x+f{f}^{\prime }}{6000AP}-\frac{(200-x)+(100-f)f^{\prime }}{22000PC}$ (với dấu phù hợp). Tại $x=50$: thành phần thứ nhất $\approx 0,2343/6$, thành phần thứ hai $\approx 0,8488/22$, cho $T^{\prime }(50)\approx 0,00046>0$; tại $x=49$: $T^{\prime }(49)\approx -0,0034<0$. Vậy cực tiểu tại $x\approx 49,9$ (P≈(50;62,5)), thời gian nhỏ nhất $T\approx 0,0203679$ giờ $=0,0203679\times 60\approx 1,22207$ phút.

Các phương án khác đều kém hơn: đường A→B→C cho $\approx 1,55$ phút; đường A→D→C cho $\approx 2,27$ phút.

Làm tròn đến hàng phần trăm phút: 1,22 phút.