Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $f(x,y)={\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)\ge 1$ (*).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x,y)={\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)={\log }_4((x+y)(x-y))={\log }_4(x^2-y^2)$, điều kiện xác định là $x+y>0$ và $x-y>0$ (tức $x>|y|$). Điều kiện $f(x,y)\ge 1$ tương đương $x^2-y^2\ge 4$.
a) Với $x=8,y=16$ thì $x-y=-8<0$, biểu thức không xác định nên cặp số này không thỏa mãn → Sai.
b) Đặt $u=x+y>0,v=x-y>0$ thì $uv=x^2-y^2\ge 4$ và $P=2x-y=\frac{u+3v}{2}$. Theo AM-GM: $u+3v\ge 2\sqrt{3uv}\ge 2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$, nên $P\ge 2\sqrt{3}$. Dấu bằng khi $3v=u$, tức $uv=3v^2=4\Rightarrow v=\frac{2}{\sqrt{3}},u=2\sqrt{3}$ (thỏa mãn). Vậy $P_{\min }=2\sqrt{3}$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định của ${\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)$ là $\{\begin{array}{l}x+y>0\\ x-y>0\end{array}$ → Đúng.
d) $f(x,y)={\log }_4(x^2-y^2)$, không thể bằng $x^2-y^2$ (ví dụ $x=2,y=0$: $f=1\ne 4$) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=8,y=16$ thì $x-y=-8<0$ nên ${\log }_4(x-y)$ không xác định; do đó cặp số này không thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=x+y>0,v=x-y>0$, $uv\ge 4$. Khi đó $P=2x-y=\frac{u+3v}{2}\ge \frac{2\sqrt{3uv}}{2}\ge 2\sqrt{3}$, dấu bằng tại $u=2\sqrt{3},v=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit yêu cầu cả hai biểu thức $x+y>0$ và $x-y>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit, $f(x,y)={\log }_4((x+y)(x-y))={\log }_4(x^2-y^2)$, không phải $x^2-y^2$.