Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $AB=a$, đường cao $SO$ vuông góc với mặt đáy và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $d(SC,AB)=d(AB,(SCD))=d(B,(SCD))$.

Gọi $H$ là trung điểm $CD$ thì $OH\perp CD$, $OH=\frac{a}{2}$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp OH$, suy ra $SH=\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, và $SH\perp CD$ (đường cao của tam giác $SCD$ xuống $CD$).

Diện tích: $S_{SCD}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot SH=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{a^2\sqrt{5}}{4}$.

Thể tích: $V_{B.SCD}=V_{S.BCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$.

Khoảng cách: $d(B,(SCD))=\frac{3V_{B.SCD}}{S_{SCD}}=\frac{3\cdot \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2\sqrt{5}}{4}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

Kiểm tra bằng tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};a\right)$. Mặt phẳng $(SCD)$: $2y+z=2a$, nên $d(B,(SCD))=\frac{|-2a|}{\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$. Hai cách cho cùng kết quả.

Vậy $d(SC,AB)=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.