Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $H$ là một điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AB=x.AH$ với số thực $x>0$. Hỏi giá trị của số thực $x$ bằng bao nhiêu để đường thẳng $GH$ song song với mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$?

Gọi $K$ là tâm của hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$. Khi đó $K$ là trung điểm của $A{C}^{\prime }$ và của $A^{\prime }C$.

Trong tam giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }K$ là đường trung tuyến nên $G\in A^{\prime }K$ và $A^{\prime }G=\frac{2}{3}{A}^{\prime }K$. Mà $A^{\prime }K=\frac{1}{2}{A}^{\prime }C$ nên $G\in A^{\prime }C$ và $\frac{A^{\prime }G}{A^{\prime }C}=\frac{1}{3}$.

Trong mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$, qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt $A^{\prime }B$ tại $T$. Theo định lí Thales: $\frac{A^{\prime }T}{A^{\prime }B}=\frac{A^{\prime }G}{A^{\prime }C}=\frac{1}{3}$.

Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, qua $T$ kẻ đường thẳng song song với $A{A}^{\prime }$, cắt $AB$ tại $H$. Theo định lí Thales: $\frac{AH}{AB}=\frac{A^{\prime }T}{A^{\prime }B}=\frac{1}{3}$.

Mặt phẳng $(GTH)$ có $GT\parallel BC$ và $TH\parallel A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $(GTH)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra $GH\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Mặt phẳng qua $G$ song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là duy nhất nên điểm $H$ thỏa mãn yêu cầu là duy nhất, với $AB=3AH$. Vậy $x=3$. Đáp số: $3$.