Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, các cạnh bên $SA=SB=SC=a$. Giá trị $\cos \left(SD,AB\right)$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, vì $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và $AB=BC=a$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, do đó $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $D=B+C-A=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$. Vì $SA=SB=SC=a$ nên $S$ nằm trên đường thẳng qua tâm đều $O\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};0\right)$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với $(ABC)$, với $SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Vậy $S\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{SD}=\left(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};-a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$, $|SD{|}^2=a^2+\frac{a^2}{3}+\frac{2a^2}{3}=2a^2\Rightarrow |SD|=a\sqrt{2}$. Vì $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ song song với trục $Ox$: $\cos (SD,AB)=\frac{|\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|SD|\cdot |AB|}=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$.