Cho hình lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh có độ dài bằng $2a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh đáy $SA$ vuông góc với đáy, $ABCD$ là hình vuông cạnh $10cm$. Biết góc giữa SB và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Tính hoàng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ ? (đơn vị là cm, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).?

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, cạnh $AB=4,BC=6$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$. Cho biết thể tích của khối hộp bằng $36\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ bằng $\sqrt{m}$. Tìm giá trị của $m$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;0)$, $B(5;-3;2)$ và $C(0;4;-1)$. Xét các điểm $M$ thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác $ABM$ bằng $6\sqrt{2}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác vuông cân tại $A^{\prime }$, hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ trùng với trung điểm $M$ của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết $A^{\prime }{B}^{\prime }=1,AM=2$.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
b) Gọi $N$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }N$.

Xét trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $A(-500;-300;500)$ và $B(-200;-200;450)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, tọa độ máy bay là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+2b+c$.