Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, cạnh $AB=4,BC=6$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$. Cho biết thể tích của khối hộp bằng $36\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ bằng $\sqrt{m}$. Tìm giá trị của $m$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;0)$, $B(5;-3;2)$ và $C(0;4;-1)$. Xét các điểm $M$ thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác $ABM$ bằng $6\sqrt{2}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác vuông cân tại $A^{\prime }$, hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ trùng với trung điểm $M$ của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết $A^{\prime }{B}^{\prime }=1,AM=2$.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
b) Gọi $N$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }N$.

Xét trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $A(-500;-300;500)$ và $B(-200;-200;450)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, tọa độ máy bay là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+2b+c$.

Xét trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $A(-500;-300;500)$ và $B(-200;-200;450)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, tọa độ máy bay là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+2b+c$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $A{A}^{\prime }=2a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng

Một đội kĩ sư đang thi công một công trình trong không gian (ví dụ: một mái vòm, một cây cầu treo). Họ dùng hệ tọa độ Oxyz (với đơn vị là mét) để định vị các điểm.
• Họ có một thanh dầm thép chính, được coi là một đường thẳng, chạy qua hai điểm $\mathbf{B}(0;0;1)$ và $\mathbf{C}(2;1;1)$.
• Họ cần treo một sợi dây cáp chịu lực từ một điểm móc cố định tại vị trí $\mathbf{A}(1;0;0)$ xuống thanh dầm BC.
Để tiết kiệm vật liệu nhất và đảm bảo dây cáp vuông góc với thanh dầm (tạo lực đỡ tốt nhất), họ cần cắt sợi dây cáp này với độ dài ngắn nhất là bao nhiêu mét?