Xét trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $A(-500;-300;500)$ và $B(-200;-200;450)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, tọa độ máy bay là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+2b+c$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $A{A}^{\prime }=2a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng

Một đội kĩ sư đang thi công một công trình trong không gian (ví dụ: một mái vòm, một cây cầu treo). Họ dùng hệ tọa độ Oxyz (với đơn vị là mét) để định vị các điểm.
• Họ có một thanh dầm thép chính, được coi là một đường thẳng, chạy qua hai điểm $\mathbf{B}(0;0;1)$ và $\mathbf{C}(2;1;1)$.
• Họ cần treo một sợi dây cáp chịu lực từ một điểm móc cố định tại vị trí $\mathbf{A}(1;0;0)$ xuống thanh dầm BC.
Để tiết kiệm vật liệu nhất và đảm bảo dây cáp vuông góc với thanh dầm (tạo lực đỡ tốt nhất), họ cần cắt sợi dây cáp này với độ dài ngắn nhất là bao nhiêu mét?

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }C$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và có độ dài các cạnh $AB=\sqrt{3}$, $BC=2$, $A{A}^{\prime }=\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B^{\prime }C$ (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, $BC=\sqrt{3}$; $\widehat{BAC}=30^0$; $SA\perp (ABC)$ và số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng $60^0$. Gọi $O$ là trung điểm của $AC$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BO$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần chục)*.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=BC=2$ và $C{C}^{\prime }=4$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $A{A}^{\prime }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)