Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $D(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $C(x)=x+1000+\frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Mảnh đất vuông của nhà anh Điệp có một phần ranh giới cũng là một phần đường cong (C): $y=\frac{x+a}{x+b}$, bao quanh nó là sông nước. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 10 mét thì đường cong (C) đi qua điểm $(2;3)$ và có đường tiệm cận đứng $x=1$. Hàng ngày anh Điệp phải dùng thuyền máy để vận chuyển trái cây từ khu vườn của mình đến hai tuyến đường ${\Delta }_1:2x+y-4=0$ và ${\Delta }_2:x+2y-2=0$ cho những người lái buôn từ nơi khác đến. Anh Điệp cần xác định một vị trí $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc khu vườn của mình để tổng các khoảng cách từ vị trí $M$ đó đến hai tuyến đường ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ là bé nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí được chọn làm gốc tọa độ đến điểm $M$ là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thoả thuận rằng: Hàng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng bao gồm:
- Chi phí cố định: 100 triệu đồng.
- Chi phí cho mỗi tấn sản phẩm làm ra: 30 triệu đồng.
Hỏi nhà máy $A$ cần bán cho nhà máy $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Bác An muốn xây một chiếc bể bơi cho trẻ em trong mảnh vườn hình vuông $ABCD$ có diện tích 144 m². Biết bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có hai đỉnh đối diện của đáy là $A$ và $E$, với $E$ thuộc đường chéo $BD$; độ sâu của bể bơi không đổi bằng 1,5 m (tham khảo hình vẽ). Chi phí lát gạch cho nền bể là 1.000.000 VND/m² và chi phí lát gạch cho thành bể là 500.000 VND/m³. Hỏi khi diện tích đáy bể đạt giá trị lớn nhất thì chi phí phải bỏ ra để lát gạch cho nền và thành bể bơi này là bao nhiêu triệu đồng?

Giả sử chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) để công ty $A$ sản xuất ra một đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức $C(x)=9x-300+\frac{400}{x}$. Hàm tổng doanh thu đạt được khi bán được $x$ sản phẩm là $R(x)=460x+6,85x^2$ (nghìn đồng). Hỏi nếu chính phủ đánh thuế 15\% trên một đơn vị sản phẩm thì cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Một hình chóp cụt lục giác đều có thể tích là $\frac{7\sqrt{6}}{2}$, cạnh đáy lớn có độ dài gấp hai lần cạnh đáy nhỏ. Khi trải phẳng hình chóp cụt lục giác đều trên một mặt phẳng thì đáy lớn nội tiếp trên 1 đường đường tròn (như hình vẽ). Tính độ dài cạnh đáy nhỏ của hình chóp cụt lục giác đều biết tròn ngoại tiếp đáy lớn có bán kính đạt giá trị nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhà ông An ở gần bờ kênh ông dự định thiết kế một ao nuôi vịt như sau: ông bắc một chiếc cầu thứ nhất từ nhà tại điểm A đến điểm M trên bờ kênh. Tại điểm M ông rào một ao hình tròn có đường kính bằng MC và bắc thêm một cây cầu thứ hai từ M đến một điểm D trên bờ ao. Hằng ngày ông đi từ nhà ra kênh trên cái cầu thứ nhất rồi từ đó đi qua cái cầu thứ 2 rồi đi theo cung tròn của cái ao đến chuồng vịt tại C để cho vịt ăn. Hỏi độ dài của cây cầu thứ nhất là bao nhiêu km biết ông đi quãng đường dài nhất với góc $\widehat{AMD}=120^0$ và nhà ông cách bờ kênh 200m, HC=1km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)