Nhà ông An ở gần bờ kênh ông dự định thiết kế một ao nuôi vịt như sau: ông bắc một chiếc cầu thứ nhất từ nhà tại điểm A đến điểm M trên bờ kênh. Tại điểm M ông rào một ao hình tròn có đường kính bằng MC và bắc thêm một cây cầu thứ hai từ M đến một điểm D trên bờ ao. Hằng ngày ông đi từ nhà ra kênh trên cái cầu thứ nhất rồi từ đó đi qua cái cầu thứ 2 rồi đi theo cung tròn của cái ao đến chuồng vịt tại C để cho vịt ăn. Hỏi độ dài của cây cầu thứ nhất là bao nhiêu km biết ông đi quãng đường dài nhất với góc $\widehat{AMD}=120^0$ và nhà ông cách bờ kênh 200m, HC=1km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống bờ kênh, AH = 0,2 km, HC = 1 km, đặt HM = x (0 < x < 1). Đường kính của ao là MC = 1 − x, bán kính R = (1−x)/2, tâm I là trung điểm MC.

Đặt α = ∠AMH, tan α = 0,2/x. Vì góc AMD = 120° nên góc giữa MD và MC là θ = ∠DMC = 180° − 120° − α = 60° − α (đổi sang rad: θ = π/3 − arctan(0,2/x)).

Tam giác MDC nội tiếp đường tròn đường kính MC nên vuông tại D, suy ra MD = MC·cos θ = (1−x)cos θ. Góc nội tiếp ∠DMC = θ chắn cung DC nên cung ở tâm ∠DIC = 2θ, độ dài cung DC = R·2θ = (1−x)θ.

Quãng đường ông An đi: L(x) = AM + MD + cung DC = √(x² + 0,04) + (1−x)(cos θ + θ), với θ = π/3 − arctan(0,2/x).

Khảo sát L(x) trên (0;1) bằng đạo hàm (kiểm tra bằng tính toán trực tiếp):
- x = 0,2: L ≈ 1,2649
- x = 0,30: L ≈ 1,3095
- x = 0,31: L ≈ 1,3101
- x = 0,315: L ≈ 1,3100
- x = 0,32: L ≈ 1,3100
- x = 0,40: L ≈ 1,2982

Quãng đường dài nhất đạt tại x ≈ 0,31 km. Độ dài cây cầu thứ nhất là AM = √(x² + 0,04) ≈ √(0,31² + 0,04) ≈ 0,3689 ≈ 0,37 km.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,37.