Một hình chóp cụt lục giác đều có thể tích là $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ cạnh đáy lớn có độ dài gấp hai lần cạnh đáy nhỏ. Khi trải phẳng hình chóp cụt lục giác đều trên một mặt phẳng thì đáy lớn nội tiếp trên 1 đường đường tròn (như hình vẽ). Tính độ dài cạnh đáy nhỏ của hình chóp cụt lục giác đều biết đường tròn ngoại tiếp đáy lớn có bán kính đạt giá trị nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là độ dài cạnh đáy nhỏ, cạnh đáy lớn bằng $2a$. Diện tích hai đáy: $S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}(2a{)}^2=6\sqrt{3}{a}^2$, $S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Thể tích: $V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{h}{3}\cdot \frac{21\sqrt{3}}{2}{a}^2=\frac{7\sqrt{3}}{2}\Rightarrow h\cdot a^2=1\Rightarrow h=\frac{1}{a^2}$.

Chiều cao hình thang (thiết diện qua trục) : khoảng cách giữa hai đáy (theo phương ngang) là $\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}$ phần apothem: hiệu apothem hai đáy là $a\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nên chiều cao hình thang bên (thiên lăng $h^{\prime }$): $h^{\prime 2}=h^2+\frac{3a^2}{4}$, cạnh bên $l^2=h^{\prime 2}+\frac{a^2}{4}=h^2+a^2$.

Khi trải phẳng: 6 hình thang quanh lục giác nhỏ (bán kính đường tròn ngoại tiếp $a$). Góc ở đáy lớn của hình thang: $\cos \gamma =\frac{a/2}{l}$, $\sin \gamma =\frac{h^{\prime }}{l}$. Hướng cạnh bên tại đỉnh đáy nhỏ lệch so với phương bán kính một góc $\delta =\gamma -60^{\circ }$, suy ra góc ở đỉnh đáy nhỏ trong tam giác (tâm – đỉnh nhỏ – đỉnh lớn) bằng $180^{\circ }-\delta =240^{\circ }-\gamma$, với $\cos (240^{\circ }-\gamma )=-\frac{a}{4l}-\frac{\sqrt{3}{h}^{\prime }}{2l}$.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác $OSB$ ($OS=a$, $SB=l$, $OB=R$):
$$R^2=a^2+l^2-2al\cos (240^{\circ }-\gamma )=h^2+\frac{5}{2}{a}^2+\sqrt{3}a{h}^{\prime }.$$

Thay $h=\frac{1}{a^2}$, $h^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{3a^2}{4}}$:
$$R^2(a)=\frac{1}{a^4}+\frac{5}{2}{a}^2+\sqrt{3}a\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{3a^2}{4}}.$$

Khảo sát hàm số (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương): giá trị nhỏ nhất đạt tại $a\approx 0,9575$ với $R_{\min }\approx 2,3987$ (kiểm tra: $R^2(0,95)\approx 5,7549$, $R^2(0,9575)\approx 5,7538$, $R^2(0,96)\approx 5,7544$, $R^2(1,05)\approx 5,9155$).

Vậy cạnh đáy nhỏ $a\approx 0,96$, khớp với đáp án nguồn 0,96.