Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+1}$ có đồ thị như hình vẽ sau:



a) Hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị.

b) $c=1$.

c) Hàm số $y=f(x)=\frac{x-2}{x+1}$.

d) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$ nên $cx+1=0\iff -c+1=0\Rightarrow c=1$ (b đúng). Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1$. Đồ thị đi qua điểm $(2;0)$: $\frac{2a+b}{3}=0\Rightarrow b=-2$. Vậy $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ (c đúng). $y^{\prime }=\frac{a-b}{(cx+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ (d đúng), và vì $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm số không có cực trị (a sai). Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{a-b}{(cx+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$ suy ra $-c+1=0\Rightarrow c=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $c=1$, tiệm cận ngang $y=1\Rightarrow a=1$; qua $(2;0)$ suy ra $b=-2$; vậy $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ (kiểm tra $f(0)=-2$ đúng theo đồ thị).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó.