Cho hàm số có đạo hàm là hàm số bậc ba và đồ thị như hình vẽ
Cho hàm số có đạo hàm là hàm số bậc ba và đồ thị như hình vẽ
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Tồn tại giá trị để .
b)
Hàm số có 1 điểm cực trị
c)
Có 100 giá trị nguyên thuộc khoảng để hàm số đồng biến trên .
d)
Hàm số có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu
Đáp án chính thức: a:S,b:Đ,c:S,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f'(x) tiếp xúc trục hoành tại x=-1 (nghiệm kép), cắt trục tại x=2, và đi qua điểm (-2;4) nên f'(x)=a(x+1)^2(x-2) với a(1)(-4)=4 => a=-1, tức f'(x)=(x+1)^2(2-x)≥0 với mọi x, chỉ bằng 0 tại x=-1.
a) f đồng biến trên ℝ nên f(sin²x)>f(3/2) ⟺ sin²x>3/2, vô lý vì sin²x≤1. Sai.
b) g'(x)=f'(x³+8x)(3x²+8), với 3x²+8>0. x³+8x đồng biến nên mỗi phương trình x³+8x=-1 và x³+8x=2 có đúng một nghiệm. Tại nghiệm của x³+8x=-1, f' có nghiệm kép nên không đổi dấu (không cực trị); tại nghiệm của x³+8x=2, f' đổi dấu từ + sang - (cực đại). Vậy g có đúng 1 điểm cực trị. Đúng.
c) h'(x)=2f'(2x-3)-2x/(1+x²)-2m>0 trên (1/2;2) ⟺ m<φ(x)=f'(2x-3)-x/(1+x²) với mọi x∈(1/2;2). Với f'(t)=(t+1)²(2-t), t=2x-3: φ(x)=4(x-1)²(5-2x)-x/(1+x²). Tính φ'(x)=24(x-1)(2-x)-(1-x²)/(1+x²)²; xét dấu cho thấy φ giảm trên (1/2;1) và tăng trên (1;2), min φ=φ(1)=-1/2. Vậy cần m<-1/2, tức m nguyên ≤ -1: có 99 giá trị m∈(-100;100) (từ -99 đến -1), không phải 100. Sai.
d) f'(x)≥0 trên ℝ và chỉ triệt tiêu tại x=-1 (nghiệm kép, không đổi dấu) nên f đồng biến trên ℝ, không có cực đại hay cực tiểu. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên ℝ nên cần sin²x>3/2, vô lý vì sin²x≤1.
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x³+8x)(3x²+8); chỉ nghiệm x³+8x=2 cho f' đổi dấu, nghiệm x³+8x=-1 là nghiệm kép của f' không đổi dấu, nên g có đúng 1 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần m<min φ(x)=4(x-1)²(5-2x)-x/(1+x²) trên (1/2;2); min=φ(1)=-1/2 nên m nguyên ≤-1, cho 99 giá trị chứ không phải 100.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+1)²(2-x)≥0, chỉ bằng 0 tại x=-1 không đổi dấu, nên f đồng biến trên ℝ, không có cực trị.
Từ đồ thị: f'(x) tiếp xúc trục hoành tại x=-1 (nghiệm kép), cắt trục tại x=2, và đi qua điểm (-2;4) nên f'(x)=a(x+1)^2(x-2) với a(1)(-4)=4 => a=-1, tức f'(x)=(x+1)^2(2-x)≥0 với mọi x, chỉ bằng 0 tại x=-1.
a) f đồng biến trên ℝ nên f(sin²x)>f(3/2) ⟺ sin²x>3/2, vô lý vì sin²x≤1. Sai.
b) g'(x)=f'(x³+8x)(3x²+8), với 3x²+8>0. x³+8x đồng biến nên mỗi phương trình x³+8x=-1 và x³+8x=2 có đúng một nghiệm. Tại nghiệm của x³+8x=-1, f' có nghiệm kép nên không đổi dấu (không cực trị); tại nghiệm của x³+8x=2, f' đổi dấu từ + sang - (cực đại). Vậy g có đúng 1 điểm cực trị. Đúng.
c) h'(x)=2f'(2x-3)-2x/(1+x²)-2m>0 trên (1/2;2) ⟺ m<φ(x)=f'(2x-3)-x/(1+x²) với mọi x∈(1/2;2). Với f'(t)=(t+1)²(2-t), t=2x-3: φ(x)=4(x-1)²(5-2x)-x/(1+x²). Tính φ'(x)=24(x-1)(2-x)-(1-x²)/(1+x²)²; xét dấu cho thấy φ giảm trên (1/2;1) và tăng trên (1;2), min φ=φ(1)=-1/2. Vậy cần m<-1/2, tức m nguyên ≤ -1: có 99 giá trị m∈(-100;100) (từ -99 đến -1), không phải 100. Sai.
d) f'(x)≥0 trên ℝ và chỉ triệt tiêu tại x=-1 (nghiệm kép, không đổi dấu) nên f đồng biến trên ℝ, không có cực đại hay cực tiểu. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên ℝ nên cần sin²x>3/2, vô lý vì sin²x≤1.
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x³+8x)(3x²+8); chỉ nghiệm x³+8x=2 cho f' đổi dấu, nghiệm x³+8x=-1 là nghiệm kép của f' không đổi dấu, nên g có đúng 1 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần m<min φ(x)=4(x-1)²(5-2x)-x/(1+x²) trên (1/2;2); min=φ(1)=-1/2 nên m nguyên ≤-1, cho 99 giá trị chứ không phải 100.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+1)²(2-x)≥0, chỉ bằng 0 tại x=-1 không đổi dấu, nên f đồng biến trên ℝ, không có cực trị.
