Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_{45}^3=14190$.
a) Số chẵn từ 2 đến 44 có 22 số, số cách lấy 3 quả đánh số chẵn là $C_{22}^3=1540$ → đúng.
b) Phân loại theo số mũ của 2: lẻ (v=0): 23 số; v=1 (≡2 mod 4): 11 số; v=2 (≡4 mod 8): 6 số; v≥3 (chia hết cho 8): 5 số. Tích KHÔNG chia hết cho 8 khi tổng số mũ ≤ 2: ba số lẻ $C_{23}^3=1771$; hai lẻ + một v=1: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; hai lẻ + một v=2: $253\cdot 6=1518$; một lẻ + hai v=1: $23\cdot C_{11}^2=1265$. Tổng $7337$. Vậy số trường hợp chia hết cho 8 là $14190-7337=6853$, xác suất $\frac{6853}{14190}=\frac{623}{1290}\ne \frac{523}{1290}$ → sai.
c) Có 23 số lẻ, 22 số chẵn. Tổng lẻ khi có 1 hoặc 3 số lẻ: $23\cdot C_{22}^2+C_{23}^3=5313+1771=7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$ → sai.
d) Theo mod 4: r0 có 11 số, r1 có 12 số, r2 có 11 số, r3 có 11 số. Các bộ residue có tổng ≡ 0 mod 4: (0,0,0): $C_{11}^3=165$; (0,1,3): $11\cdot 12\cdot 11=1452$; (0,2,2): $11\cdot C_{11}^2=605$; (1,1,2): $C_{12}^2\cdot 11=726$; (2,3,3): $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $3553$, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$ → đúng.
a) Có 22 số chẵn (2,4,...,44), số cách chọn 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) Đếm theo valuation của 2, số bộ có tích chia hết cho 8 là 6853, xác suất $\frac{623}{1290}$, không phải $\frac{523}{1290}$.
c) Tổng lẻ: $23C_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) Đếm theo residue mod 4 được 3553 bộ, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.