Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)=(x-1{)}^3(x-2)$. $f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm.
b) Đúng. Bảng biến thiên $y=f(x)$: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1),(2;+\infty )$. Ta có $(-3;0)\subset (-\infty ;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3;0)$.
c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) Sai. Ta có $y=f\left(x^2-6x+1\right)\Rightarrow y^{\prime }={\left(x^2-6x+1\right)}^{\prime }{f}^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=(2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)$. $$y^{\prime }=0\iff (2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2x-6=0\\ x^2-6x+1=1\\ x^2-6x+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=6\\ x=-3+\sqrt{10}\\ x=-3-\sqrt{10}\end{array}.$$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x^2-6x+1\right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
a) a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)=(x-1{)}^3(x-2)$. $f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm.
b) b) Đúng. Bảng biến thiên $y=f(x)$: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1),(2;+\infty )$. Ta có $(-3;0)\subset (-\infty ;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3;0)$.
c) c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) d) Sai. Ta có $y=f\left(x^2-6x+1\right)\Rightarrow y^{\prime }={\left(x^2-6x+1\right)}^{\prime }{f}^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=(2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)$. $$y^{\prime }=0\iff (2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2x-6=0\\ x^2-6x+1=1\\ x^2-6x+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=6\\ x=-3+\sqrt{10}\\ x=-3-\sqrt{10}\end{array}.$$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x^2-6x+1\right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.