Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{(x+1)\left(x^2-1\right)}{f^2(x)-2f(x)}$ là bao nhiêu?

Ta có: $f^2(x)-2f(x)=0\iff \{\begin{array}{ll}f(x)=0& (1)\\ f(x)=2& (2)\end{array}$. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: (1) có nghiệm $x_1=a<-1$ (nghiệm đơn) và $x_2=1$ (nghiệm kép) $$\Rightarrow f(x)=k(x-a)(x-1{)}^2(k>0)$$ (2) có nghiệm ba nghiệm đơn $x_1,x_2,x_3$ với $x_1=b<-1<x_2=0<1<x_3=c(b>a)$ $$\Rightarrow f(x)-2=k(x-b)x(x-c)(k>0).$$ $\Rightarrow$ Hàm số $y=g(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{a;b;0;1;c\}$
+) Tìm tiệm cận ngang: Vì $g(x)=\frac{(x+1)\left(x^2-1\right)}{f^2(x)-2f(x)}=\frac{(x+1)\left(x^2-1\right)}{f(x)\left[f(x)-2\right]}=\frac{(x+1{)}^2}{k^2(x-1)(x-b)x(x-c)(x-a)}$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0,{\lim }_{x\to -\infty }g(x)=0\Rightarrow$ ĐTHS $y=g(x)$ nhận đường thẳng $y=0$ làm TCN.
+) Tìm tiệm cận đứng: Tại các điểm $x=a,x=b,x=0,x=1,x=c$ mẫu của $g(x)$ nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0. Và do hàm số xác định trên $D=\mathbb{R}\setminus \{a;b;0;1;c\}$ nên giới hạn một bên của hàm số $y=g(x)$ tại các điểm $x=a,x=b,x=0,x=1,x=c$ là các giới hạn vô cực. Do đó, ĐTHS $y=g(x)$ có 5 TCD: $x=a,x=b,x=0,x=1$ và $x=c$. Vậy ĐTHS $y=g(x)$ có 6 đường tiệm cận: 1 TCN: $y=0$ và 5 TCD $x=a,x=b,x=0,x=1,x=c$. Đáp án: 6