Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi $u_n$ là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số $(u_n)$.



Tìm công thức của số hạng tổng quát $u_n$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường tròn có $n+6$ điểm cách đều nhau, nên mỗi cung nhỏ giữa hai điểm liên tiếp có số đo $\frac{360^{\circ }}{n+6}$.

Xét một đỉnh của ngôi sao. Từ đỉnh đó, hai dây cung được vẽ tới hai điểm cách nó hai điểm theo hai chiều trên đường tròn. Góc ở đỉnh của ngôi sao là góc nội tiếp chắn cung lớn (cung không chứa đỉnh) nằm giữa hai điểm được nối. Cung này gồm tất cả các cung nhỏ trừ đi 4 cung nhỏ ở hai bên đỉnh (2 cung mỗi bên), tức là gồm $n+6-4=n+2$ cung nhỏ, nên có số đo $\frac{(n+2)\cdot 360^{\circ }}{n+6}$.

Theo định lý góc nội tiếp, góc ở đỉnh bằng nửa số đo cung bị chắn:
$$u_n=\frac{1}{2}\cdot \frac{(n+2)\cdot 360^{\circ }}{n+6}=\frac{180(n+2)}{n+6}\text{(độ)}.$$

Kiểm tra: với $n=1$ (7 điểm, sao bước 2), $u_1=\frac{180\cdot 3}{7}=\frac{540^{\circ }}{7}\approx 77,14^{\circ }$; với $n=2$ (8 điểm), $u_2=\frac{180\cdot 4}{8}=90^{\circ }$, phù hợp với các hình sao trong Hình 1.

Vậy công thức số hạng tổng quát là $u_n=\frac{180(n+2)}{n+6}$ (độ), với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.